【等差数列和等比数列的公式】在数学中，数列是一种按照一定顺序排列的数的集合。其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们在实际问题中有着广泛的应用。本文将对这两种数列的基本概念、通项公式以及前n项和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、等差数列
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用字母d表示。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中，$ a_n $ 表示第n项，$ a_1 $ 是首项，d是公差。
2. 前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
该公式用于计算等差数列前n项的总和。
二、等比数列
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母r表示。
1. 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
$$
其中，$ a_n $ 表示第n项，$ a_1 $ 是首项，r是公比。
2. 前n项和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
$$
如果 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差（d） | $ d = a_{n} - a_{n-1} $ | $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） |
四、应用举例
- 等差数列：如3, 6, 9, 12, 15，公差为3。
- 等比数列：如2, 4, 8, 16, 32，公比为2。
通过掌握这些公式，可以快速解决数列相关的计算问题，尤其在金融、物理、工程等领域具有重要应用价值。
通过上述内容的整理，我们可以更清晰地理解等差数列和等比数列的核心公式及其应用场景，为后续的学习和实践打下坚实基础。