问等比数列的所有公式

【等比数列的所有公式】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的相关公式对于解决实际问题和数学考试都非常重要。以下是对等比数列所有常用公式的总结。

一、基本概念

- 首项（a₁）：数列的第一个数。

- 公比（r）：后一项与前一项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。

- 第n项（aₙ）：数列中的第n个元素。

- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。

- 无穷等比数列和（S）：当公比 $ r < 1 $ 时，数列无限延伸时的和。

二、等比数列公式汇总表

三、公式应用举例

示例1：已知首项为3，公比为2，求第5项

解：

$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $

示例2：已知首项为5，公比为3，求前4项和

解：

$ S_4 = 5 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 5 \cdot 40 = 200 $

示例3：已知首项为2，公比为0.5，求无穷和

解：

$ S = \frac{2}{1 - 0.5} = \frac{2}{0.5} = 4 $

四、注意事项

- 当公比 $ r = 1 $ 时，等比数列为常数数列，此时前n项和公式不适用，应直接计算 $ S_n = n \cdot a_1 $。

- 公比 $ r $ 为负数时，数列会交替变化正负。

- 无穷等比数列只有在 $ r < 1 $ 时才有有限和，否则数列发散。

通过以上公式和实例，可以系统地掌握等比数列的基本知识和应用方法。熟练运用这些公式有助于提高解题效率和逻辑思维能力。