【复合函数求导】在微积分中，复合函数求导是一个非常重要的内容。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，通常形式为 $ y = f(g(x)) $，其中 $ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数。为了求这种函数的导数，我们需要使用链式法则（Chain Rule）。
一、复合函数求导的基本概念
定义：
如果函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 都是可导的，则复合函数 $ y = f(g(x)) $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
二、复合函数求导步骤总结
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 确定外层函数和内层函数 | 分清哪个是外层函数，哪个是内层函数 |
| 2 | 对外层函数求导 | 将内层函数视为变量进行求导 |
| 3 | 对内层函数求导 | 直接对内层函数求导 |
| 4 | 将两者的导数相乘 | 得到最终的导数表达式 |
三、常见复合函数类型及求导示例
| 函数形式 | 导数公式 | 示例 |
| $ y = \sin(u) $ | $ y' = \cos(u) \cdot u' $ | $ y = \sin(3x) $ → $ y' = 3\cos(3x) $ |
| $ y = e^{u} $ | $ y' = e^{u} \cdot u' $ | $ y = e^{x^2} $ → $ y' = 2x e^{x^2} $ |
| $ y = \ln(u) $ | $ y' = \frac{1}{u} \cdot u' $ | $ y = \ln(x^3 + 1) $ → $ y' = \frac{3x^2}{x^3 + 1} $ |
| $ y = (u)^n $ | $ y' = n(u)^{n-1} \cdot u' $ | $ y = (2x + 1)^5 $ → $ y' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4 $ |
四、注意事项
- 复合函数可能不止一层，如 $ y = f(g(h(x))) $，此时需要多次应用链式法则。
- 注意区分中间变量与自变量，避免混淆导数的含义。
- 在实际计算中，可以逐步分解，逐层求导，再相乘得到结果。
五、总结
复合函数求导是微积分中的基础但重要技能，掌握链式法则并熟练运用是解决复杂函数导数问题的关键。通过分步分析、识别内外函数，并逐步求导，能够有效提高解题效率和准确性。