【等比数列是什么】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数列、函数、几何和实际问题中。理解等比数列的基本概念、性质及其应用，有助于我们更好地掌握数列的规律，并在实际问题中灵活运用。
一、等比数列的定义
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项开始，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母 q 表示。
例如：
2, 4, 8, 16, 32...
这是一个等比数列，公比 q = 2。
二、等比数列的基本性质
| 特性 | 内容 | ||
| 公比 | 每一项与前一项的比值，记作 q | ||
| 首项 | 第一项，记作 a₁ | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ | ||
| 前n项和 | 当 q ≠ 1 时，$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | ||
| 无限等比数列和 | 当 | q | < 1 时，$ S = \frac{a_1}{1 - q} $ |
三、等比数列的应用
等比数列在现实生活中有广泛的应用，比如：
- 复利计算：银行利息按年计算，本金和利息不断增长。
- 人口增长模型：某些情况下，人口以固定比例增长。
- 细胞分裂：细胞每次分裂数量翻倍，形成等比增长。
- 计算机科学：如二进制计数、数据结构中的递归算法。
四、等比数列与等差数列的区别
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
| 相邻项差 | 为定值 | 为定值（公比） |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ |
| 增长方式 | 线性增长 | 指数增长 |
五、总结
等比数列是一种具有固定比例关系的数列，其核心特征是公比。通过了解它的通项公式、求和公式以及应用场景，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。无论是数学学习还是日常生活中的计算，等比数列都具有重要的意义。
关键词：等比数列、公比、通项公式、前n项和、指数增长